- 吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
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- 994字
- 2025-02-20 13:52:57
第2章 连续系统的时域分析
2.1 复习笔记
一、LTI连续系统的响应
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1.微分方程的经典解
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该微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,即
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齐次解yh(t)是微分方程的解。yh(t)的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应。
特解yp(t)的函数形式由激励信号确定,称为强迫响应。
2.零输入响应
激励为零时,仅由系统的初始状态所引起的响应称为零输入响应,用表示。在零输入条件下,(2.1)式右端为零,化为齐次方程,即
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若其特征根都为单根,则零输入响应为
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式中为待定系数。由于激励为零,故有初始值为
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3.零状态响应
系统的初始状态为零时,仅由输入信号所引起的响应称为零状态响应,用表示。此时(2.1)式如下
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初始状态。若微分方程特征根都为单根,则零状态响应为
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式中为待定系数,
为方程的特解。
4.全响应
如果系统的初始状态不为零,在激励f(t)的作用下,LTI系统的响应称为全响应,它是零输入响应和零状态响应之和,即。
二、关于初始状态的讨论
10-状态和0+状态
0-状态称为零输入时的初始状态,即初始值是由系统的储能产生的;0+状态称为加入输入后的初始状态,即初始值不仅有系统的储能,还受激励的影响。
2.从0-状态到0+状态的跃变
(1)当系统已经用微分方程表示时,系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数。
(2)如果包含有δ(t)及其各阶导数,说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。
3.0+状态的确定
(1)已知0-状态求0+状态的值,可用冲激函数匹配法。
(2)求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出,见第5章内容。
三、冲激响应和阶跃响应
1冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应,记为h(t),即h(t)=T[{0},δ(t)]。
2.阶跃响应
输入信号为单位阶跃函数ε(t)时系统的零状态响应,称为阶跃响应,即g(t)=T[{0},ε(t)]。
四、卷积积分
1卷积积分的定义
已知定义在区间(–∞,+∞)上的两个函数f1(t)和f2(t),则定义积分
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为f1(t)与f2(t)的卷积,记为f(t)=f1(t)*f2(t)。
2.卷积的计算
(1)图解法的步骤为:换元→反转→平移→相乘→积分。
(2)解析法:利用定义式和性质计算。
五、卷积积分的性质
1卷积的代数运算:满足交换律、分配律、结合律。
2.微分性质
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3.积分性质
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4.微积分性质
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5.奇异函数的卷积
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6.时移性质
若,则
。