§1.2　行列式的定义

通过本节的学习，学生应掌握用对角线法则求二、三阶行列式的值，掌握n阶行列式的概念，记住四种特殊行列式的值.

为了引出行列式的一般定义，我们先介绍低阶行列式.

1.2.1　二阶、三阶行列式

1.二阶行列式

将a11，a12，a21，a22四个数排成两行两列的数表，称此为二阶行列式.通常用D表示，并规定.其中aij称为二阶行列式的元素，元素aij的第一个下标i称为行标，第二个下标j称为列标.如a12表示这个元素位于第一行、第二列.

上述二阶行列式可用对角线法则记忆，如图1.1所示.

把a11到a22的实线连接称为主对角线，a12到a21的虚线连接称为次对角线或副对角线.二阶行列式的值可以叙述为主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积.

可以看出，二阶行列式一共有22个元素，共2！项；二阶行列式值中的每项均为选自不同行、不同列的两个元素的乘积.

例1　计算二阶行列式.

解　=3×2-（-1）×1=7.

例2　设，问λ为何值时，D≠0.

解　

令D≠0，则λ≠0且.

故当λ≠0且时，D≠0.

2.三阶行列式

类似地，可以定义三阶行列式.

设有九个数排成三行三列的数表，并规定

a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.

由上式可见，三阶行列式共有3！=6项，每项均为取自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，三阶行列式可用对角线法则记忆，其规律如图1.2所示.

例3　计算三阶行列式.

解　D =1×0×5+3×3×2+2×（-1）×1-2×0×2-3×（-1）×5-1×3×1=0+18-2-0+15-3=28.

注意　对角线法则仅适用于二阶和三阶的行列式，下面我们介绍n阶行列式的定义及其计算方法.

1.2.2　n阶行列式

由二阶、三阶行列式值的规律特点，不难得出：

（1）n2个数排成n行n列，两边加竖线就是一个n阶行列式.共有n！项，每项都来自于不同行、不同列的几个元素的连乘积，其中j1j2…jn为列标的一个n阶排列.

（2）每项符号的确定：当列标j1j2…jn为偶排列时，该项取正号；当列标j1j2…jn为奇排列时，该项取负号，即符号可写成.

由此得出行列式的一般定义：

定义1　由n2个数排成n行n列，写成

称为n阶行列式，其中aij为第i行、第j列的元素；其值为n！项，每一项取自不同行、不同列的n个元素的连乘积，即 的代数和.其中j1j2…jn构成一个n级排列.

若用D表示行列式，则

表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到n阶行列式的另一种定义形式：

定义2　，

即把列标写成标准排列i1i2…in为行标的一个n级排列.由此得到行列式更一般的定义形式.

定义3　，

其中i1i2…in为行标的一个n级排列，j1j2…jn为列标的一个n级排列.

例4　四阶行列式共有多少项？乘积a12a24a32a41是D中的项吗？

解　共有4！ =24项.乘积a12a24a32a41不是D中的一项，因为其中有两个元素a12，a32均取自第2列.

例5　已知，求x3的系数.

解　由行列式的定义，展开式的一般项为，要出现x3的项，则需三项取到x.显然行列式中含x3的项仅有两项，它们是

即　　x·x·x·1=x3及（-1）·x·x·1·2x=-2x3，

故x3的系数为1+（-2）=-1.

1.2.3　特殊行列式

下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式

1.对角行列式

称为对角行列式.

根据行列式的定义得

2.上三角形行列式

称为上三角形行列式.

根据行列式的定义得

3.下三角形行列式

称为下三角形行列式

同理可得

4.副对角行列式

称为副对角行列式.

根据行列式的定义得

习题1.2　

1.计算下列行列式：

；

；

2.当x取何值时

3.下列各项是五阶行列式|aij|中的一项吗？若是，确定该项的符号.

（1）a12a25a33a41a54；（2）a31a12a43a52a24；（3）a42a21a35a13a54.

4.在四阶行列式中，写出同时含a12和a21的那些项，并确定它们的正负号.

5.用行列式定义计算下列行列式：

；；