6.3　向量的数量积及其运算法则

本节重点知识：

1.向量的数量积.

2.向量数量积的坐标运算.

6.3.1　向量的数量积

在物理学中，一个物体在力的作用下，产生位移，若与之间的夹角为θ，则所作的功W是

这里功W是一个数量，它由向量和的模及其夹角余弦的乘积来确定.像这样由两个向量的模及其夹角余弦的乘积确定一个数量的情况，在其他一些问题中也会遇到，如物理学中的功率等.

若将两个非零向量，，设为则把射线OA与射线OB所组成的不大于π的角称做与的夹角，记做显然

在数学中，我们将两个非零向量的模与它们的夹角θ的余弦的乘积定义为与的数量积（又称做内积），记做

其中θ表示

从而也可以表示成

注意　两个向量数量积的结果是一个实数，可能是正数，可能是负数，也可能是零.

想一想

如果 是两个非零向量，那么在什么条件下有以下结论：

练一练

（1）如果 ，那么 _________；

（2）如果 ，那么 _________.

例1　根据下列条件分别求出

解　（1）因为

将已知条件代入，得

所以

又因为

所以

（2）因为

将已知条件代入，得

所以

又因为

所以

向量的数量积运算满足交换律和分配律，即

但它不满足结合律，即

当实数与向量相乘时，满足结合律，即

例2　已知计算：

练习

1.已知分别是平面直角坐标系中x轴和y轴上的单位向量，分别计算：

2.根据下列条件，求：

3.已知求

4.已知计算：

6.3.2　向量数量积的坐标运算

设向量的坐标为（x1，y1），即向量的坐标为（x2，y2）即则

所以

就是说，在直角坐标系中，两个向量的数量积等于它们的横坐标之积与纵坐标之积的和.

例1　已知求

当两个向量垂直时，夹角为，此时有

反之，若非零向量的数量积为0，即则必然有cosθ=0，即

故有

如果则有

例2　判断下列各题中的向量与是否垂直：

所以　与不垂直.

如果那么

所以　

就是说，利用向量坐标，我们可以计算出它的模.

练一练

算出下列各向量的模：

（1）若 ，则

（2）若 则

（3）若 则

如果点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2）

于是向量的模

由于的模就是点A和点B的距离，所以我们得到平面上两点间的距离公式

例3　已知A（8，-1），B（2，7），求.

例4　已知点A（-3，-7），B（-1，-1），C（2，-2），求证：△ABC是直角三角形.

分析　可以通过判断某两边互相垂直，证得△ABC是直角三角形；也可以利用勾股定理的逆定理证得结论.

证法1：根据已知，得

即∠ABC=90°.所以△ABC是直角三角形.

证法2：根据已知，得

即　CA2=AB2+BC2.所以△ABC是直角三角形.

练习

1.求的值，当：

2.已知M（6，4），N（1，-8），求

3.已知A（-4，7），B（5，-5），求