6.1　向量的几何形式及其线性运算

本节重点知识：

1.平面向量.

2.向量的加法与减法运算.

3.数乘向量.

4.向量平行的条件.

6.1.1　平面向量

在现实生活中，存在两种类型的量，一种量，如温度、质量、时间、面积等，它们都可以由一个实数值来确定.例如，温度是-3℃，质量是5g，时间是10s，面积是4cm2等.而另一种量，如位移、力、速度等，它们不仅有数值的大小，而且还具有方向的意义.例如，当我们说某物体受到2N力的作用时，还必须要同时指出这个力的作用方向.

为了区别这两种量，我们把只有数值大小的量称做数量（或标量），把既有数值大小又有方向的量称做向量（或矢量）.

这里所说的向量，是对众多具体的物理向量的抽象概括，它原来具有什么物理意义，已经不重要.这里，我们只注意它们共同具有的数学特征——数值和方向.

表示向量的最形象、直观的方法是借用标有箭头的线段.如图6-1所示，线段AB，并画有箭头指向B，表示平面上一个动点由A移动到B.我们把点A称做起点，点B称做终点.这种规定了起点和终点的线段称做有向线段.

以A为起点、B为终点的有向线段记作（字母要按照起点在前，终点在后的顺序写）.这样和就表示两条不同的有向线段.

用有向线段表示向量称做向量的几何表示.这时，我们就把有向线段称做向量.

向量有时也用一个标有箭头的字母表示，如等.

表示向量的有向线段的长度，称做向量的模，记做.相应的，向量的模记做，向量的模记做.向量的模是一个数量（标量），是非负实数.向量的模也称做向量的长度.

两个向量如果模相等，方向也相同，那么我们说这两个向量相等，向量与相等，记做，如图6-2（a）所示.由于我们所研究的向量只含有两个要素——大小和方向，所以用有向线段表示向量时，与它的起点位置无关.

两个向量如果模相等，方向却相反，那么我们说这两个向量互为逆向量的逆向量记做，如图6-2（b）所示.因为，并且的方向与的方向相反，所以与互为逆向量，因此

想一想

1.如图6-3（a）所示，在等腰梯形ABCD中，两个底 和 互为逆向量吗？两腰 和 相等吗？如果E是 的中点，且 ，请你画出向量 和 ，并指出 和 的关系 和 的关系.

2.如图6-3（b）所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 相等的向量.

当向量的终点和起点重合时，向量便成为一个点，我们称它为零向量，记做零向量的模等于0，即，零向量的方向是任意的（即不确定），因此，我们规定：所有的零向量都相等.

长度为1的向量称做单位向量.即如果是单位向量，则

两个非零向量与方向相同或相反，我们就说这两个向量互相平行，记做平行向量又称共线向量.

例1　如图6-4所示，在▱ABCD中，分别写出：

（1）与向量相等的向量；

（2）向量的逆向量.

解　（1）根据平行四边形的性质及相等向量的概念，有

（2）的逆向量是

例2　选择题：

是的（　）.

（A）充分且不必要条件　　（B）必要且不充分条件

（C）充要条件　　（D）既不充分也不必要条件

分析　根据向量相等的定义，如果，那么且方向相同；如果且方向相同，那么，可知仅仅是的必要且不充分条件.

答案　B.

想一想

判断下列表述的正误，若错误，请说明理由.

（1） 　　（2）因为 是单位向量，所以

（3）若有 成立，则一定有 成立；

（4）因为 是单位向量，所以

练习

1.选择题：

（1）下列说法不正确的是（　）.

A.零向量没有方向　　B.零向量与任意一个向量平行

C.零向量的起点和终点重合　　Ｄ.零向量的方向任意

（2）下列关于共线向量说法正确的是（　）.

A.若有，则　　B.互为逆向量的两个向量一定是共线向量

C.相等向量不一定是共线向量　　D.平行向量和共线向量概念不同

2.解答题：

已知四边形ABCD为等腰梯形，AB//DC，AD=BC.

①写出与向量共线的向量；

②确定向量与向量的关系.

6.1.2　向量的加法与减法运算

看下面的例子：

如图6-5所示，某人从A地向东行进5km，到达B地，再从B地向北行进5km，到达C地，这时从A地看，此人恰好在东北方向km处.

我们看到，此人连续做了两次位移和，从而使他由A地到达了C地.其效果与由A地向东北方向行进km（即）是一样的.在物理中称是与的合成位移.这里，把向量称做向量与的和，即

由此，得出向量加法的一个法则

如果和为已知向量，在平面上任取一点A.以A为起点，做向量，再以B为起点做，令，则称做与的和.记做

这个法则就是向量加法的三角形法则，如图6-6所示.

练一练

根据三角形法则，画出图6-7中 与 的和.

练一练

在上面三角形法则的作图中，如果以A为起点做向量（见图6-8），则由可知，四边形ABCD为平行四边形，向量与是这个平行四边形的两条邻边与的和恰好是▱ABCD的一条对角线.这样就得到了向量加法的平行四边形法则：

如果和为已知向量，在平面上任取一点A，以A为起点，以和为邻边做平行四边形，则在这个平行四边形中，以A为起点的对角线所表示的向量，称做与的和.

在图6-8中我们看到由三角形法则有所以即同时验证了向量加法满足交换律.

向量加法也满足结合律，即请读者自行验证.（提示：在任意四边形ABCD中，设

由于向量加法满足交换律、结合律，所以把称做向量的和.

三个向量的和可以依照三角形法则得到：把三个向量首尾顺次连接，则由第一个向量的起点到第三个向量的终点的向量就是三个向量的和，如图6-9所示.

练一练

不画图，直接写出各题的结果：

向量减法是向量加法的逆运算.如果两个向量与的和等于，即，那么，我们把称做与的差，记做

根据向量加法的三角形法则，与的差可以这样去求：在平面上任选一点A，做向量则向量就是所求的差

注意

（1）两个向量是以同一点为起点做出的；

（2）两个向量的差是两个向量终点之间的向量；

（3）差向量的箭头指向被减的向量.

练一练

已知向量 和 （见图6-10），请分别画出 和

例　验证

证明　如图6-11所示，在▱ABCD中，设，，则

分别在△ABC和△ACD中，利用三角形法则，得

而　　

所以 由此得出：减去一个向量，等于加上这个向量的逆向量.这是向量减法的又一个法则，依照它，可以把向量减法问题转化为加法问题.

练习

1.选择题：

（1）以下说法不正确的是（　）.

A.向量相加满足首尾相接　　B.向量相减满足首首相接

C.向量的平行移动不改变方向和大小　　D.当向量不是首尾相接时不可以进行加法

（2）以下说法正确的是（　）.

A.向量加法的三角形法则的条件是刚好满足首尾相接

B.

C.向量的减法必须是同一起点才可以进行减法运算

D.无论两个向量方向如何最后都可以通过平移进行加减法运算

2.计算：

（1）求下列各个小题中的和向量：

（2）求下列各个小题的差向量：

（3）求下列加法与减法混合运算：

6.1.3　数乘向量

看下面的例子：

甲、乙二人朝同一方向用力拉一物体，甲用力记做，而乙所用力的大小是甲的2倍，这时，可以把乙所用的力表示成

这就是数乘向量的运算.

一般地，实数k与向量的积称做数乘向量，记做.并有以下规定：

（1）k=0时，为零向量，即；

（2）k≠0时，的模是的模的|k|倍，即当k>0时，与的方向相同；当k<0时，与的方向相反.

例1　已知向量，分别做出向量

解　如图6-12所示，向量表示，向量表示，向量表示

练一练

根据数乘向量的意义填空：

和实数之间相乘一样，实数与向量相乘，也满足结合律和分配律：

数乘向量的这些性质，可以通过图6-13可以得到验证.

例2　已知▱ABCD对角线相交于O点，如图6-14所示，若用表示向量

解　因为

O是AC，BD的中点，所以

或者由向量的平行四边形法则，直接得到

例3　计算

解　根据运算律，有

例4　已知，求未知向量.

解　去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得

向量的加法、减法以及数乘向量运算，统称为向量的线性运算.它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的，但是由于它们在形式上相像，因此实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.

练习

1.选择题：

（1）当非零向量和反方向，k需要满足什么条件（　）.

A.k>1　　B.k<1　　C.k>0　　D.k<0

2.计算：

3.求未知向量

6.1.4　向量平行的条件

定理　两个非零向量平行的充要条件是，其中λ是不为零的实数.

证明　（1）充分性.

因为且是非零向量.

由数乘向量的定义知道：

当λ>0时，与方向相同；

当λ<0时，与方向相反.

这表明λ是不为零的实数时

即

（2）必要性.

如果与平行，那么，与方向相同或相反.

当与同向时，设取此时有

因为λ>0，

所以与方向相同.

又因为与方向相同.

所以与方向相同.

因此

当与反向时，设取类似地可以证明

例1　已知且

求证：

证明　因为与同向，

所以且与同向.

所以

例2　已知：如图6-15所示，M，N分别是△ABC的AB和AC边上的点，且

求证：MN∥BC.

分析　为了证明MN∥BC，根据向量平行的定理，只要证明可以写成λ的形式即可.

证明　由已知条件，得

所以

即

练习

判断题：

（1）如果，那么与方向相同或相反.（　）

（2）若有，则一定有成立.（　）

（3）两个非零向量，平行的充要条件是（　）

（4）因为，为非零向量，当，λ<0时与方向相反.（　）