学习单元2 测量工作原则和测量误差
知识目标
（1）了解测量工作的基本原则。
（2）了解测量误差产生的原因及分类，熟悉衡量测量精度的指标，理解误差传播定律。
技能目标
（1）能够根据测量原则实施测量工作。
（2）能够进行测量精度评定。
基础知识
建立衡量精度的指标，是为了衡量观测结果的精度，常用的衡量测量精度的指标有中误差、极限误差和相对误差。我们知道，有些未知量不能直接测得，需要借助其他测量按一定的函数关系间接计算。由于直接观测者含有误差，因此它的函数关系也存在误差。我们把建立观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。
☼小提示
测量工作的基本原则
无论是测绘地图还是施工放样，都会不可避免地产生误差。如果从一个测站点开始，不加任何控制地依次逐点施测，前一点的误差将传递到后一点，逐点累积，点位误差将越来越大。为了保证精度，要求先在测区范围内建立一系列控制点，精确地测出这些点的位置，然后再分别根据这些控制点进行施测地物、地貌的碎部测量工作。因此，测量工作必须遵循“从整体到局部、先控制后碎部、由高级到低级”的原则进行。
一、测量误差
（一）测量误差的含义
测量工作中的大量实践表明，对某一未知量进行多次重复观测时，不论测量仪器多么精密，观测者多么仔细认真，所测得的各次结果总会存在差异。例如，往、返丈量某段距离若干次，或重复观测某一角度，观测结果都不会一致。再如，测量某一平面三角形的3个内角，其观测值之和常常不等于理论值180°。由此可见，某量的各观测值相互之间或观测值与理论值之间往往存在着某种差异，这种差异说明观测中存在误差。这种观测值与真值或理论值之差称为测量误差。
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测量误差的产生原因
测量工作中，尽管观测者按照一定的操作方法进行认真工作，但对同一个点多次观测，其结果往往有差异。例如，对同一段距离丈量两次，对同一个角度进行多次观测，对两点之间的高差进行往返观测，所得结果总会有差异。又如，对某一平面三角形的内角进行观测，其和不等于180°；又如，所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等。这种误差实质上表现为观测值与其观测量的真值之间存在着差异，说明观测值中存在测量误差。研究观测误差的来源及其规律，可采取各种措施来减小其误差影响。测量误差的产生有许多方面的原因，概括起来主要包括以下3个方面。
1．仪器条件
测量工作是通过仪器来进行的，尽管仪器经过检验与校正，总会有些剩余误差。所以利用它来进行观测，不可避免地要产生误差。
2．观测者的自身条件
在观测过程中，由于感觉器官鉴别能力的局限性，观测者在读数、瞄准目标、安置仪器等方面都会产生误差。同时，观测者的责任心和技术水平也会直接影响观测成果的质量。
3．外界条件
观测时所处的外界条件随着天气的温度、湿度、风力及大气折射等的变化而变化着。例如，温度的变化就要影响钢尺的伸缩，因而在这种变化着的外界条件中进行观测，其结果也必然包含误差。
观测误差的3个来源，合起来又称为观测条件。观测条件的好坏，直接影响到观测成果的质量。反过来说，观测成果的质量也客观地反映观测条件的优劣。通常称在相同观测条件下进行的观测为等精度观测。
为了使测量结果达到一定的精度，除了不断地改进仪器、选择合理的工作方案与方法、尽量避免外界条件的影响外，还应了解误差的性质、产生和积累的规律，从而进行合理的处理，使误差不致对观测结果产生有害影响。
（二）测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
1．系统误差
在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的大小及符号表现出一致性倾向，即按一定的规律变化或保持为常数，则这种误差称为系统误差。例如，用一把名义长度为30m，而实际长度为30.010m的钢尺丈量距离，每量一钢尺就有0.010m的误差，这0.010m的误差，在数值上和符号上都是固定的，丈量距离越长，误差也就越大。
2．偶然误差
在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的大小及符号都没有表现出一致性的倾向，表面上看没有任何规律可循，则这种误差称为偶然误差。如瞄准目标的照准误差、读数的估读误差等。
☼小提示
系统误差具有累积性，对测量成果影响较大，应设法消除或减弱。常用的方法有：对观测结果加改正数；对仪器进行检验与校正；采用适当的观测方法。
偶然误差是不可避免的。为了提高观测成果的质量，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测，采用多余观测结果的算术平均值作为最后的观测结果。
（三）偶然误差的特征
从表面上看，单个偶然误差没有任何规律，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就能表现出一种统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。
例如，某一测区在相同的观测条件下，独立地观测358个三角形的全部内角，由于观测值含有误差，因此，每个三角形内角之和一般不会等于其真值180°。各三角形内角和的真误差为
Δi=(l1+l2+l3)i-180°(i=1,2,…,n) （1-13）
式中，(l1+l2+l3)i为第i个三角形内角观测值之和。
现取误差区间的间隔dΔ=±3″，将该组真误差按其绝对值的大小排列。统计出在各区间内的正负误差的个数，列成误差频率分布表，以显示误差在各个区间的分布情况。出现在某区间的误差的个数称为频数，用k表示，计算其相对个数k/n(n=358)，k/n也称为误差在该区间的频率。统计结果列于表1-3。
表1-3 偶然误差统计结果
为了更直观地表示出误差的分布情况，还可以采用直方图的形式来表示。绘直方图时，横坐标取误差Δ的大小，纵坐标取误差出现于各区间的相对个数除以区间的间隔值dΔ，图1-12所示的内容形象地表示了该组误差的分布情况。
根据以上分析，可以概括偶然误差的特征。
（1）在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。
（2）绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值较大的误差出现的频率较小。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。
（4）随着观测次数无限增加，偶然误差的平均值趋近于零，即有
式中，[Δ]=Δ1+Δ2+…+Δn=
在测量中，常用[ ]表示括号中数值的代数和。
当误差个数n→∞时，如果把误差间隔dΔ无限缩小，则可以想象，图1-12中的各长方形顶点折线就变成了一条光滑的曲线，如图1-13所示。该曲线称为误差分布曲线，即正态分布曲线。不难理解，图中曲线形状越陡峭，表示误差分布越密集，观测质量越高；曲线形状越平缓，表示误差分布越离散，观测质量越低。
图1-12 偶然误差频率直方图
图1-13 正态分布曲线图
误差分布曲线的方程为
式中，σ(>0)为与观测条件有关的参数。
当n→∞时，在横坐标Δk处有
即
式（1-16）即Δk在区间dΔ内误差出现的频率
与误差分布曲线的关系。
偶然误差不能用计算改正或用一定的观测方法简单地加以消除，只能根据偶然误差的特性来合理地处理观测数据，以减少偶然误差对测量成果的影响。
二、衡量测量精度的指标
精度是指误差分布的密集或离散程度。如果在一定观测条件下进行观测所产生的误差分布较为密集，则表示观测精度较高；反之，如果误差分布较为离散，则表示观测精度较低。为了衡量观测结果的精度，必须建立衡量精度的指标。
常用的衡量测量精度的指标有中误差、极限误差和相对误差。
（一）中误差
在相同观测条件下，作一系列的观测，并以各个真误差的平方和的平均值的平方根作为评定观测质量的标准，称为中误差，通常用m表示，即
式中，[ΔΔ]=Δ12+Δ22+Δ32+…+Δn2。
由式（1-17）可知，中误差不等于真误差，它仅是一组真误差的代表值，中误差的大小反映了该组观测值精度的高低。因此，通常称中误差为观测值的中误差。
（二）极限误差
偶然误差的第一特性表明，在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
☼小提示
如果某个观测值的误差超过这个限值，就会认为这次观测的质量差或出现错误而舍弃不用。这个限值称为极限误差（或称容许误差）。大量实验统计证明，绝对值大于2倍中误差的偶然误差，出现的或然率不大于5%；大于3倍中误差的偶然误差，出现的或然率不大于0.3%。
《工程测量规范》（GB 50026—2007）规定，以2倍中误差作为极限误差，即
Δ极=2m （1-18）
（三）相对误差
中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，有些量，如长度，绝对误差不能全面反映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为200m，另一段为300m，但中误差皆为±0.01m。显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差”，以便能更客观地反映实际测量精度。相对误差为中误差的绝对值与相应观测值之比，用k表示。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母越大，表示相对误差越小，精度也就越高。
三、误差传播定律
在测量工作中，有一些未知量是不能直接测定的，必须借助其他的观测量按一定的函数关系间接计算求得。函数关系的表现形式分为线性函数和非线性函数两种。由于直接观测值含有误差，因而它的函数必然存在误差。建立观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。
（一）线性函数
1．倍数函数
设有倍数函数
Z=kx （1-19）
式中，k为常数，无误差；x为观测值。
当观测值x含有真 误差Δx时，函数Z也将产生相应的真误差ΔZ，设x值观测了n次，则
ΔZn=kΔxn （1-20）
将上式两端平方，求其总和，并除以n，得
根据中误差的定义，有
mZ2=k2mx2
或
mZ=kmx （1-22）
2．和差函数
设有和差函数
Z=x±y （1-23）
式中，x，y为独立观测值；Z为x和y的函数。
当独立观测值x、y含有真误差Δx、Δy时，函数Z也将产生相应的真误差ΔZ，如果对x、y观测了n次，则
ΔZn=Δxn+Δyn （1-24）
将上式两端平方，求其总和，并除以n，得
根据偶然误差的抵消性和中误差定义，得
m2Z=m2xm2y
或
3．一般线性函数
设有线性函数
Z=k1x1+k2x2+…+knxn （1-27）
式中，x1,x2,…,xn为独立观测值；k1,k2,…,kn为常数，根据式（1-22）和式（1-26）可得
m2Z=(k1m1)2+(k2m2)2+…+(knmn)2 （1-28）
式中，m1,m2,…,mn分别是x1,x2,…,xn观测值的中误差。
（二）非线性函数
设有非线性函数为
Z=f(x1,x2,…,xn) （1-29）
式中，x1,x2,…,xn为独立观测值；其中误差为m1,m2,…,mn。
当观测值xi含有真误差Δxi时，函数Z也必然产生真误差ΔZ，但这些真误差都是很小的值，故对上式全微分，并以真误差代替微分，即
式中，
是函数Z对x1,x2,…,xn的偏导数。
当函数值确定后，则偏导数值恒为常数，故式（1-30）可以认为是线性函数，于是有
四、等精度独立观测量的最可靠值与精度的评定
（一）最可靠值的求取
设在相同观测条件下，对某一量观测了n次，其观测值为l1,l2,…,ln，则该量的算术平均值为
设观测量的真值为X，则观测值的真误差为
式（1-33）内各式两端相加，并除以n，得
把式（1-32）经过变形并代入式（1-34），移项后得
当观测次数n无限增大时，根据偶然误差的特性，有
那么同时可得
☼小提示
当观测次数无限增加时，算术平均值就趋近于未知量的真值。但是在实际测量工作中，观测次数n总是有限的，通常取算术平均值作为最后结果，它比所有的观测值都可靠，因此，通常把有限次观测值的算术平均值称为该量的最可靠值（最或然值）。
（二）精度评定
1．观测值的改正数
未知量的最或然值与观测值之差称为观测值的改正数，用V表示，即
将式（1-36）两端求和，得
[V]=0 （1-37）
由式（1-37）可知，一列观测值的改正数之和为零，常以此作为计算的检核。
2．观测值中误差
在实际测量工作中，观测量的真值X是未知的。在等精度观测中，往往只知道算术平均值x和观测值改正数V，也就是说不能用式（1-17）来计算观测值中误差。下面的推导是用观测值的改正数V代替真误差Δ，来推求观测值的中误差公式，为此，将Δi=li-X与式（1-36）中Vi=x-li相加，得
Δi=(x-X)-Vi (i=1,2,…,n) （1-38）
将式（1-38）等号两边自乘取和，得
[ΔΔ]=n(x-X)2+[VV]-2(x-X)[V] （1-39）
式（1-39）等号两边再除以n，并考虑到[V]=0，得
式（1-40）中，x-X是最或然值（算术平均值）的真误差，由于x-X值难以求得，将δ=(x-X)代入式（1-40）后，有
将式（1-38）中各式相加，得
[Δ]=n(x-X)-[V]
即 [Δ]=nδ-[V]
由于[V]=0，得
将式（1-42）两端平方后，得
因为Δ1Δ2，Δ2Δ3…为偶然误差的乘积，当观测数无限增多时，这些乘积也具有偶然误差的特性，因此有
从而，可得
又由式（1-17）知m2=
，综合式（1-41）和式（1-43），得
整理后，可得
该式就是利用观测值的改正数计算等精度观测值中误差的公式，也称为贝塞尔公式，m代表每一次观测值的精度，故称为观测值中误差。
3．算术平均值的中误差
设对某量进行了n次观测，每一次观测的中误差为m，则算术平均值中误差M为
式（1-45）的推导过程如下。
根据误差传播定律，得
因为各次观测为等精度观测，即m1=m2=…=mn=m，则有
即
☼小提示
算术平均值的中误差M要比观测值的中误差m小
倍，观测次数越多，算术平均值的中误差就越小，精度就越高。适当增加观测次数n，可以提高观测值的精度。当观测次数增加到一定次数后，算术平均值的精度提高幅度就很微小了，所以，应该根据需要的精度，适当确定观测的次数。
例如，等精度观测了某段距离5次，各次观测值列于表1-4中，则可求出该段距离的观测值的中误差及算术平均值的中误差。
表1-4 观测值表
五、不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定
（一）权
不等精度观测时，用以衡量观测值可靠程度的数值，称为观测值的权，通常以p来表示。观测值精度越高权就越大，它是衡量可靠程度的一个相对性数值。
设观测量li的中误差为mi，其权pi的计算公式为
式中，m20为任意正实数。
由式（1-47）可知，观测量li的权pi与其方差mi2成反比，li的方差mi2越大，其权就越小，精度越低；反之，li的方差mi2越小，其权就越大，精度越高。
令pi=1，则有m02=mi2，也即m02为权等于1的观测量的方差，因此称m02为单位权方差，而m0就称为单位权中误差。
（二）加权平均值及其中误差
设对某一未知量进行n次不等精度独立观测，得观测值l1,l2,…,ln，其中误差分别为m1,m2,…,mn，权分别为p1,p2,…,pn，则观测值的加权平均值为
不同精度观测值li的加权平均值为
根据误差传播定律，加权平均值的中误差M为
用
代入上式得
上式两边开根号得
当n足够大时，mi可用相应观测值li的真误差Δi来代替，即可得单位权中误差m0为
代入式（1-49）中，可得
式（1-51）即为用真误差计算加权算术平均值的中误差的表达式。
1．倍数函数公式的应用
【例1-3】对一个三角形，3个角分别为∠A、∠B、∠C，已观测了∠A和∠B，其值分别为：∠A=38°42'16″±7.0″，∠B=85°32'42″±8.0″，求∠C及其中的误差。
解：根据题意，可得∠A+∠B+∠C=180°，即有
∠C=180°-∠A-∠B=55°45'02″
此处180°为常数，∠A、∠B的中误差分别为mA=±7.0″，mB=±8.0″，得
mC2=mA2+mB2
即
2．和差函数公式应用
【例1-4】在1:1 000的图上，量得某两点间的距离d=158.6mm，d的量测中误差md=±0.04mm。试求实地两点间的距离D及其中误差mD。
解 D=1000×158.6mm=158.6m
mD=1000×(±0.04mm)=±0.04m
所以，D=158.6m±0.04m。
学习案例
某工程在做一个区域的地形图测绘项目，由于该区域建筑物和树木比较多，地势起伏较大，对测量造成一定的影响。因此，测绘人员需要判读其点位关系，根据点位关系对该区域进行测量。
想一想
在实际生活中应如何进行地面点位的基本测量工作呢？
案例分析
我们知道，确定点的位置，是将地面点沿铅垂线方向投影到一个代表地球表面形状的基准面上，地面点投影到基准面上后，要用坐标和高程来表示点位。
以地形测绘为例，虽然地面上各种地物种类繁多，地势起伏千差万别，但它们形状、大小及位置万千可以看成由一系列连续的点所组成的。所以，点位关系是测量上要研究的基本关系。在实际工作中地面点位的确定不是直接测量坐标和高程而是通过测量地面点与已知坐标和高程的点之间的几何关系，再经过计算间接得到所测点的坐标和高程。
如图1-14所示，Ⅰ和Ⅱ是已知坐标点，它们在水平面上的投影位置为1、2，地面点A、B是待定点、定点，它们在水平面上的投影位置是a、b。
图1-14 基本测量工作
如果观测了水平角β1、水平距离L1，可用三角函数计算出a点的坐标，同理，观测水平角β2和水平距离L2，也可计算出b点的坐标。
在测绘地形图时，可在图上直接用量角器根据水平角β1做出1点至a点的方向线，在此方向线上根据距离L1和一定的比例尺，即可定出a点的位置，同理，可在图上定出b点的位置。
故水平角测量和水平距离测量是确定地面点坐标或平面位置的基本测量工作。
若I点的高程已知为HI，观测了高差hIA，则可利用高差计算公式转换后计算出A点的高程：
HA=HI+hIA
同理，若观测了高差hAB，可计算出B点的高程。
地面点间的水平角、水平距离和高差是确定地面点位的3个基本要素，我们把水平角测量、水平距离测量和高程测量称为确定地面点位的3项基本测量工作，再复杂的测量任务，都是通过综合应用这3项基本测量工作来完成的。
知识拓展
建筑工程施工测量安全管理
1．建筑工程施工测量的一般安全要求
（1）进入施工现场的作业人员，必须首先参加安全教育培训，考试合格后方可上岗作业，未经培训或考试不合格者，不得上岗作业。
（2）不满18周岁的未成年工，不得从事工程测量工作。
（3）作业人员服从领导和安全检查人员的指挥，工作时思想集中，坚守作业岗位，未经许不得从事非本工种作业，严禁酒后作业。
（4）施工测量负责人每日上班前，必须集中本项目部全体人员，针对当天任务，结合安全技术措施内容和作业环境、设施、设备安全状况及本项目部人员技术素质、安全知识、自我保护意识及思想状态，有针对性地进行班前活动，提出具体注意事项，跟踪落实，并做好活动。
（5）六级以上强风和下雨、下雪天气，应停止露天测量作业。
（6）作业中出现不安全险情时，必须立即停止作业，组织撤离危险区域，报告领导解决，不准冒险作业。
（7）在道路上进行导线测量、水准测量等作业时，要注意来往车辆，防止发生交通事故。
2．施工测量安全管理
（1）进入施工现场的人员必须戴好安全帽，系好帽带；按照作业要求正确穿戴个人防护用品，着装要整齐；在没有可靠安全防护设施的高处（2m以上）悬崖和陡坡施工时，必须系好安全带；高处作业不得穿硬底和带钉易滑的鞋，不得向下投掷物体；严禁穿拖鞋、高跟鞋进入施工现场。
（2）施工现场行走要注意安全，避让现场施工车辆，避免发生事故。
（3）施工现场不得攀登脚手架、井字架、龙门架、外用电梯，禁止乘坐非乘人的垂直运输设备上下。
（4）施工现场的各种安全设施、设备和警告、安全标志等未经领导同意不得任意拆除和随意挪动。确因测量通视要求等需要拆除安全网等安全设施的，要事先与总包方相关部门协商，并及时予以恢复。
（5）在沟、槽、坑内作业必须经常检查沟、槽、坑壁的稳定情况，上下沟、槽、坑必须走坡道或梯子，严禁攀登固壁支撑上下，严禁直接从沟、槽、坑壁上挖洞攀登上下或跳下，间歇时，不得在槽、坑坡脚下休息。
（6）在基坑边沿进行架设仪器等作业时，必须系好安全带并挂在牢固可靠处。
（7）配合机械挖土作业时，严禁进入铲斗回转半径范围。
（8）进入现场作业面必须走人行梯道等安全通道，严禁利用模板支撑攀登上下，不得在墙顶、独立梁及其他高处狭窄而无防护的模板面上行走。
（9）地上部分轴线投测采用内控法作业的，在内控点架设仪器时要注意上方洞口安全，防止洞口坠物发生人员和仪器事故。
（10）施工现场发生伤亡事故，必须立即报告领导，抢救伤员，保护现场。