4.1.2 行列式

二元一次方程组不仅可以使用传统的“消元法”，还可以使用矩阵来求解，那这两种方法之间有什么联系呢？用消元法求二元一次方程组的式子如下：

消去未知数x1和x2，求得

当a11·a22-a12·a21≠0时，原式可以变形为

可以看出，x1和x2的分母是一样的，都是a11·a22-a12·a21，在一开始的二元一次方程组中其是这么排列的：

可以看出，aij的下标i和j正好表示它所在的位置是i行j列，在这4个数左右都加上符号“|”来表示这是一个“行列式”，确切地说，这是一个“二阶行列式”。在行列式中从左上到右下称为“主对角线”，从右上到左下称为“副对角线”。二阶行列式的值即为主对角线之积减去副对角线之积，式子如下：

所以，最终解可以写成如下式子，D1和D2的行列式形式请读者牢记。

在引入n阶行列式之前，读者先要了解全排列、逆序数、对换的概念。

“全排列”的概念：把n个不同的元素排成一列，叫作这n个元素的全排列。一般，求n个不同元素所有全排列的情况和总的个数，用Pn来表示，计算方式如下：

Pn=n·(n-1)·…·4·3·2·1=n!

其中，n！称为“n的阶乘”，用于表示从1～n的整数叠乘的结果。例如，1，2，3这3个数的全排列个数是3！=3·2·1=6，这种情况，个数较少，罗列出来分别是123，231，312，132，213，321。

“逆序数”的概念：对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），在这n个元素的任意一个排列中，当某两个元素的先后次序与所认定的标准次序不同时，就称这是一个“逆序”，一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的“逆序数”，且逆序数为奇数时，称这个排列为“奇排列”，反之，逆序数为偶数时，称之为“偶排列”。

如何计算“逆序数”呢？假定有n个元素为1～n的自然数，规定由小到大为标准次序。设P1P2…Pn为这n个自然数的一个排列，考虑元素Pi（i=1，2，…，n），如果比Pi大且排在Pi前面的元素有ti个，就说Pi的逆序数是ti。所有元素的逆序数之和如下（即这个全排列的逆序数）：

“对换”的概念：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，做出这种新排列的方式称为“对换”。将两个相邻元素对换称为“相邻对换”。对换有以下两个性质。

（1）全排列中的任意两个元素对换，全排列奇偶性改变。

（2）奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数；偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

下面来看n阶行列式的概念，由三阶行列式引入，三阶行列式的定义如下：

仔细观察可以看出，前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。因此各项可以表示为（-1）t的形式，其中，t为列标准排列的逆序数，所以三阶行列式可以写成如下形式：

其中，t是全排列P1P2P3的逆序数，∑表示将1、2、3这3个数的所有全排列P1P2P3取和。由此可以推广到关于n阶行列式的一般情况：

其中，每行不同列的n个数的乘积如下：

其中，P1P2…Pn为自然数1，2，3，…，n的一个全排列，t为这个全排列的逆序数，这样的排列有n！个，因此上式也有n！项，结果如下：

可以简记为det（aij），其中aij是行列式D中处于i行j列的数字。注意一些常用的说法：主对角线以下元素都为0的行列式称为下三角行列式；反之，主对角线以上元素都为0的行列式称为上三角行列式。

行列式有一些特殊的性质，“转置行列式”是一种常见的行列式，其定义如下：

（1）行列式DT即为D的“转置行列式”。所谓D的转置行列式，是将D中的元素按主对角线反转而得的。从D=DT可以看出：一个行列式的值与它反转后的转置行列式的值是一样的。

（2）对换行列式的两行或两列，行列式的值的符号改变，但绝对值不变，示例如下：

上式中对换了第1列和第2列，行列式的值的符号改变，但绝对值不变。

如果两个行列式有两行或者两列完全相同，则这两个行列式的值相同。需要注意的是，“两行或者两列完全相同”的含义是行与行、列与列相同，而不是行与列相同。另外，位置不需要一样，不需要同行或同列对应相同，只需有相同的两行或两列存在即可。

（3）行列式中的某一行或者某一列的所有元素的公因子可以被提取出来，示例如下：

（4）如果行列式有两行或者两列成比例，则此行列式的值等于0，示例如下（第1列和第2列的数值是k倍关系，故行列式的值为0）：

（5）若行列式中的某一行或者某一列的元素都是两数之和，示例如下：

则行列式D可以写成如下两个行列式之和的形式：

（6）把行列式的某一行或者某一列加到另一行或另一列上，行列式的值不变，示例如下：

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