1.3 电路基本定律

电路基本定律有欧姆定律和基尔霍夫定律。

1.3.1 欧姆定律

1.欧姆定律

欧姆定律早在初中物理中已学过，但在电路分析中，由于引入电流电压的参考方向和负电流负电压概念，欧姆定律的内涵扩展了，应用下式表示：

正负号取法：当u与i的参考方向相同时取正号，相反时取负号。当电流电压均为直流时，可用下式表示：

【例1-10】 已知电路如图1-23所示，R₁=5Ω，R₂=10Ω，I₁=2A，I₂=3A，试求电压U₁、U₂值；若I₁=-2A，I₂=-3A，试再求电压U₁、U₂值。

解：图1-23a电路中，I₁与U₁参考方向相同，因此：U₁=+I₁R₁=2×5V=10V

若I₁=-2A时，只需用负值代入：U₁=+I₁R₁=（-2）×5V=-10V

图1-23b电路中，I₂与U₂参考方向相同，因此：U₂=-I₂R₂=-3×10V=-30V

若I₂=-3A，则U₂=-I₂R₂=-（-3）×10V=30V

【例1-11】 已知电路同上例，U₁=4V，U₂=-9V，试求I₁、I₂。

解：图1-23a，=2A

图1-23b，=3A

2.电阻串联电路的分压概念

电阻串联电路如图1-24所示。若在电阻串联电路两端施加电压，则每个串联电阻上的电压按电阻大小进行分配。电阻值大，分得电压大；电阻值小，分得电压小。按比例线性分配电压，称为分压。即：

需说明的是，应用式（1-25）计算每个电阻上电压时，也有正负号取值问题，当U₁，U₂，…，U_n与总电压U的电压参考方向相同时取正号，相反时取负号。

【例1-12】 已知电阻串联电路如图1-25所示，R₁=60Ω，R₂=40Ω，U=10V，试求电路等效电阻R和U₁、U₂值。

解：R=R₁+R₂=（60+40）Ω=100Ω

求U₁、U₂值可有两种方法：一种方法是先求出电流I，再求出分电压U₁、U₂；另一种方法是直接利用分压公式求出电压U₁、U₂。现要求用后一种方法，因为在本书后续内容和后续课程中，熟练应用分压公式将会带来很大方便。

计算U₂时，取负号的原因是U₂与U的参考方向相反。

【例1-13】 电路同上例，已知R₁=160Ω，R₂=40Ω，U₁=16V，试求U、U₂值。

解：=20V

3.电阻并联电路的分流概念

电阻并联电路如图1-26所示。若流入电阻并联电路的总电流为I，则每个并联电阻中的电流按电导大小进行分配，电导大（电阻值小），分得电流多；电导小（电阻值大），分得电流少。即按电阻大小成反比例分配，称为分流。

式（1-26）中，G为电阻并联电路总电导（总电阻值的倒数）；G₁，G₂，…，G_n为各并联电导（各电阻值的倒数）。需要说明的是，应用式（1-26）计算分流时，也有正负号取值问题，当I₁，I₂，…，I_n与总电流I的参考方向相同（顺向）时取正号，相反（逆向）时取负号。

两个电阻并联时，有：

【例1-14】 已知电阻并联电路如图1-27所示，R₁=30Ω，R₂=60Ω，I=3A，试求电路等效电阻R和I₁、I₂值。

解：

求I₁、I₂值有两种方法：一种方法是先求出总电阻R和端电压U，然后再应用欧姆定律求每个电阻中的电流；另一种方法是直接利用分流公式（1-27）求出电流I₁、I₂。现要求用后一种方法，因为在本书后续内容和后续课程中，熟练应用分流公式将会带来很大方便。

计算I₂时，取负号的原因是I₂与I的参考方向相反（逆向）。

【例1-15】 电路同上例，已知R₁=6Ω，R₂=4Ω，I₁=1.44A，试求I、I₂值。

解：

1.3.2 基尔霍夫定律

基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（Kirchhoff' s Current Law, KCL）和基尔霍夫电压定律（Kirchhoff' s Voltage Law, KVL）。在叙述KCL和KVL之前先介绍电路中几个名称概念。

（1）支路：电路中具有两个端钮（称为二端元件）且通过同一电流的每个分支（至少包含一个元件），称为支路。在图1-28 中，acb、ab、adb均为支路。其中acb、adb支路中有电源称为含源支路，ab支路中无电源称为无源支路。

（2）节点：3条或3 条以上支路的连接点，称为节点。在图1-28中，a、b均为节点。

（3）回路和网孔：电路中任一闭合路径，称为回路。在图1-28中，abca、adba、adbca均为回路。其中abca和adba又称为网孔，内部不含有支路的回路称为网孔。

需要说明的是，有些书中将每一个二端元件定义为支路，将每一个二端元件之间的连接点定义为节点，主要是为了便于计算机分析线性电路，本书不予采用。

（4）网络：一般把包含较多元件的电路称为网络。实际上，网络就是电路，两个名词可以通用。

1.基尔霍夫电流定律

在任一时刻，任一节点上，所有支路电流的代数和恒为零。即：

在直流电路中，式（1-28）也可写作

在图1-29中，若设电流流进节点a为正，流出节点a为负，则有∑I=I₁+I₄+I₅-I₂-I₃=0。若全部移项至等式右边，则∑I=-I₁-I₄-I₅+I₂+I₃=0，此时，变为电流流进节点a为负，流出节点a为正。即式（1-28）中电流正负号取决于节点电流的参考方向。若该节点电流参考方向为流进节点，则流进电流取正号，流出电流取负号；若该节点电流参考方向为流出节点，则流出电流取正号，流进电流取负号。

若将∑I中流进、流出节点的电流分置于等号两边，则有：

上式表示，在任一时刻，流入一个节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。

从基尔霍夫电流定律可以得出两个推论。

推论1：任一时刻，穿过任一假设闭合面的电流代数和恒为零。

如图1-30a所示，虚线框内为假设闭合面，该假设闭合面可视作一个大节点，则I₁+I₂-I₃=0。即KCL可推广应用于任一假设闭合面。

推论2：若两个网络之间只有一根导线连接，则该连接导线中电流为0。

如图1-30b所示，网络Ⅰ与网络Ⅱ之间只有一根导线连接，设网络Ⅰ流进网络Ⅱ的电流为I，但无网络Ⅱ流进网络Ⅰ的电流，根据KCL，则I=0。

2.基尔霍夫电压定律

在任一时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零。即：

在直流电路中，式（1-29）也可写作：

如图1-31所示电路，按绕行方向（即电压参考方向），根据KVL可得：

∑U=U_AB+U_BC+U_CD+U_DE+U_EF+U_FA

=-I₁R₁-U_S1+I₂R₂-I₃R₃+U_S2+I₄R₄=0

式中每一段电压为：U_AB=-I₁R₁，U_BC=-U_S1，U_CD=I₂R₂，U_DE=-I₃R₃，U_EF=U_S2，U_FA=I₄R₄。元件电压降正、负号按下述方法确定：与绕行方向相同，取正号；与绕行方向相反，取负号。

移项得：U_S1-U_S2=-I₁R₁+I₂R₂-I₃R₃+I₄R₄

写成一般形式：

式（1-29b）是KVL的另一种表达形式。其含义为：在任一时刻，沿任一回路，所有电压源的电压代数和等于该回路其他元件电压降的代数和。实际上是将式（1-29a）中的电压分成两部分，一部分为电压源电压的代数和（移项后将改变原来的正负号），另一部分为其他元件电压降的代数和，并将这两部分电压分写在等式两边。但需要注意的是，应用式（1-29b）时，电压源电压正、负号与元件电压降正、负号的确定方法不同。电压源电压，与绕行方向相同，取负号；与绕行方向相反，取正号。

【例1-16】 已知电路如图1-31所示，R₁=5Ω，R₂=3Ω，R₃=4Ω，R₄=2Ω，U_S1=-3V，U_S2=4V，I₁=-3A，I₂=4A，I₃=5A，试求I₄。

解：根据KVL可得：

∑U=U_AB+U_BC+U_CD+U_DE+U_EF+U_FA

=-I₁R₁-U_S1+I₂R₂-I₃R₃+U_S2+I₄R₄=0

进一步求解，并代入数据，可得：

【例1-17】 已知电路如图1-32所示，R₁=10Ω，R₂=5Ω，R₃=5Ω，U_S1=13V，U_S3=6V，试求支路电流I₁、I₂、I₃。

解：设定回路Ⅰ和回路Ⅱ绕行方向如图1-32所示，列出KVL方程：

回路Ⅰ：

回路Ⅱ：

对节点A，列出KCL方程（设流进节点A为正）：

联立求解①、②、③方程得：I₁=0.8A，I₂=1A，I₃=0.2A。

上例中，以支路电流I₁、I₂、I₃为未知数，列出KCL、KVL方程的求解方法，称为支路电流法。支路电流法是求解电路的基本方法。

需要说明的是：根据KCL，上例还可列出节点B的KCL方程：-I₁+I₂-I₃=0，但该方程与方程③关联，可由方程③移项而得，不是独立方程。同时，根据KVL，还可列出由元件U_S1、R₁、R₃、U_S3组成回路的KVL方程：I₁R₁-I₃R₃+U_S3-U_S1=0，但该方程与方程①、②关联，可由方程①、②相加而得，不是独立于①、②的方程。因此，对于具有m条支路、n个节点的电路，只能列出[m-（n-1）]个独立KVL方程。对于具有n个节点的电路，只能列出（n-1）个独立的节点电流方程。

【例1-18】 已知电路如图1-33所示，R₁=R₃=R₄=R₆=2Ω，R₂=R₅=R₇=1Ω，U_S1=12V，U_S2=8V，U_S3=6V，试求U_AB、U_AC。

解：首先确定KVL绕行方向，设如图中顺时针虚线方向，且同时设定其为电流I参考方向。则可列出KVL方程：

则：U_AB=I（R₁+R₂+R₃）+U_S1

=[（-0.4）×（2+1+2）+12]V=10V

另解：U_AB=-I（R₆+R₅+R₄）+U_S2=[-（-0.4）×（2+1+2）+8]V=10V

由于C端开路，BC支路中电流I_BC为0，因此

U_AC=U_AB+U_BC=U_AB-U_S3=（10-6）V=4V

从上例中还可得出基尔霍夫电压定律的两个推论。

推论1：两点间电压是定值，与计算时所沿路径无关。例如图1-33中，计算U_AB可按R₁、U_S1、R₂、R₃路径，也可按R₆、U_S2、R₅、R₄路径，均等于10V。

推论2：KVL可推广应用于任一不闭合电路。即任一时刻，电路中任意两点间电压等于由起点至终点沿某一路径各支路电压的代数和。例如图1-33中不闭合回路ABC，U_AC=U_AB+U_BC=IR₁+U_S1+IR₂+IR₃+I_BCR₇-U_S3。

【复习思考题】

1.10 用欧姆定律计算电流和电压时，正、负号如何确定？

1.11 KCL有哪两个推论？

1.12 ∑U=0和∑U_S=∑IR中电压源U_S的正、负号取法有何不同？