共线向量

前提：现在有一些非零向量（至少有2个向量）。

如果其中每一个向量的“方向”都与其他所有向量的“方向”相同或相反。

那么我们就把这些向量称为“共线向量”。

温馨提示1：共线向量不一定是位于同一条直线上的向量。

第1个例子

显然和不在同一条直线上，但是它们是共线向量（因为向量的“方向”和向量的“方向”相反）。

第2个例子

显然和在同一条直线上，它们是共线向量（因为向量的“方向”和向量的“方向”相反）。

第3个例子

显然和在同一条直线上，它们是共线向量（因为向量的“方向”和向量的“方向”相同）。

温馨提示2：人为规定零向量和任意一个向量都是共线向量（反过来说也对，也就是说，与任意一个向量都是共线向量的也只有零向量）。

温馨提示3：，这5种表述形式的意思是一样的（都指的是这两个向量方向相同或相反）。

例1：（多选）

下列说法中正确的有（　）。

A．向量的模可以比较大小

B．向量的大小和向量的大小相等

C．两向量到底谁大谁小与方向有关

D．向量就是有向线段

解：先来看A选项

首先，大家要明白一件事：“向量的模”和“向量的大小”意思一样（之前讲过），所以A选项的意思是“向量的大小可以比较大小”。

我们来判断一下是否正确。

在“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示2”中给大家讲过，两个向量之间不能用大于号或者小于号连接，也就是说“两个向量不能比较大小”。

但是，“两个向量的大小”当然可以比较大小了，因为这是具体的数值（带箭头的线段的长度）。

所以A选项正确。

再来看B选项

在“知识点2——向量的表示”中，我给大家讲过用带箭头的线段来表示向量，其中带箭头的线段的长度就表示向量的大小。

所以，向量的大小是带箭头的线段的长度，向量的大小是带箭头的的长度。

而带箭头的线段的长度和带箭头的线段的长度显然是一样的啦（这两条带箭头的线段只是箭头的方向相反而已），所以向量的大小和向量的大小相等。

所以B选项正确。

再来看C选项

在“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示2”中给大家讲过，两个向量之间不能用大于号或者小于号连接，也就是说“两个向量不能比较大小”。

所以C选项错误。

最后来看D选项

通过“知识点2——向量的表示”的讲解，我们知道用带有箭头的线段来表示向量。

也就是说，向量只不过是可以用带箭头的线段来表示而已，不能说向量就是带箭头的线段。

有的同学心里可能会想：那向量是什么呢？

我来回答这个问题：根据“知识点1——向量的定义”可知向量就是同时具有的量。

所以D选项错误。

本题答案：AB

例2：下列说法正确的是（　）。

A．零向量只有大小，没有方向

B．零向量是唯一没有方向的向量

C．零向量的大小为0

D．任意两个单位向量方向相同

解：先来看A选项

我们有两种方法都可以判断出A选项是错误的。

方法1：由“知识点1——向量的定义”可知，所有向量都必须同时具有，所以零向量自然也不会例外。

方法2：由“知识点3——零向量和单位向量”中的“温馨提示2”可知，零向量并不是没有方向而是方向任意。

所以A选项错误。

再来看B选项

我们有两种方法都可以判断出B选项是错误的。

方法1：由“知识点1——向量的定义”可知，所有向量都必须同时具有，所以零向量自然也不会例外。

方法2：由“知识点3——零向量和单位向量”中的“温馨提示2”可知，零向量并不是没有方向而是方向任意。

所以B选项错误。

再来看C选项

由“知识点3——零向量和单位向量”可知，零向量指的是大小为0的向量。

所以C选项正确。

最后来看D选项

由“知识点3——零向量和单位向量”可知，单位向量指的是大小为1的向量，与方向毫无关系。

所以D选项错误。

本题答案：C

例3：下列命题正确的是（　）。

A．可以推出

B．可以推出

C．可以推出

D．可以推出

解：在逐个的看选项之前，我先给大家解释一下：“向量外面带有双竖线”指的是“向量的大小（向量的模）”。

先来看A选项

指的是“向量的大小”与“向量的大小”相等。

根据“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知指的是：“向量的大小”与“向量的大小”相等，同时“向量的方向”与“向量的方向”相同。

所以，显然不能推出（顺便说一句，可以推出）。

所以A选项错误。

再来看B选项

从我们看到的那一刻起，就已经可以断定B选项错误了，因为由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示2”可知，两个向量之间不能用大于号或小于号连接。

所以B选项错误。

再来看C选项

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，说明向量和向量方向相同或相反。

而由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示2”可知指的是：“向量的大小”与“向量的大小”相等，同时“向量的方向”与“向量的方向”相同。

所以，显然不能推出（顺便说一句，可以推出）。

所以C选项错误。

最后来看D选项

的意思是“向量的大小为0”。

根据“知识点3——零向量与单位向量”可知，大小为0的向量被称为零向量。

所以，可以推出。

所以D选项正确。

本题答案：D

例4：下列说法正确的是（　）。

A．向量就是所在的直线平行于所在的直线

B．如果第一个向量的大小与第二个向量的大小相等，那么这两个向量叫作相等向量

C．与任一向量都平行的是零向量

D．共线向量是在同一条直线上的向量

解：先来看A选项

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，指的是“向量和向量方向相同或相反”。

所以A选项错误（向量所在的直线和向量所在的直线很可能是同一条直线）。

再来看B选项

根据“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，两个大小相等并且方向相同的向量才能用等于号连接，仅仅大小相等是不行的。

所以B选项错误。

再来看C选项

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，C选项的等价说法是“与任一向量都是共线向量的是零向量”。

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示2”直接可知C选项正确。

最后来看D选项

由“知识点4——共线向量”可知，共线向量指的是方向相同或相反的向量，而并不一定是同一条直线上的向量，所以D选项错误。

本题答案：C

例5：下列说法正确的是（　）。

A．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

B．两个相等的向量一定位于同一条直线上

C．两个有共同终点的向量一定是共线向量

D．如果已知向量与向量平行，则与的方向相同或相反

解：先来看A选项

“两个有共同起点而且相等的向量”说明这两个向量同时满足以下3个条件。

条件1——“第1个向量的大小”和“第2个向量的大小”相等。

条件2——“第1个向量的方向”和“第2个向量的方向”相同。

条件3——“用来表示第1个向量的带箭头的线段的起点”和“用来表示第2个向量的带箭头的线段的起点”是同一个点。

你们脑补一下同时满足以上3个条件的这个画面，立刻就可以知道：“用来表示第1个向量的带箭头的线段的终点”和“用来表示第2个向量的带箭头的线段的终点”必然是同一个点。

所以A选项正确。

再来看B选项

由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，两个向量只要是大小相等并且方向相同就可以用等于号连接，而不一定是位于同一条直线上。

所以B选项错误。

再来看C选项

C选项显然错误。

比如：下图中的向量和向量就是有共同终点，但是它们却不是共线向量（这两个非零向量的方向并不是相同或相反的）。

最后来看D选项

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，D选项的等价说法是“如果已知向量与向量共线，则与的方向相同或相反”。

这句话显然是错误的。

原因是：假如这两个向量里有零向量，那么由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示2”可知，这两个向量共线，但是这两个向量的方向显然不是相同或相反（零向量的方向是任意的）。

所以D选项错误。

本题答案：A

例6：有下列说法：

①若，则一定不与共线。

②若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点。

③在中，一定有。

④若向量与任一向量平行，则。

⑤若，，则。

⑥平行向量是所在直线互相平行的向量。

其中，正确的说法是________（填序号）。

解：先来看①

题中说，根据“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，以下两个条件中至少有一个条件不满足。

条件1——向量的大小和向量的大小相等。

条件2——向量的方向和向量的方向相同。

那么，我们假设“条件1不满足而条件2满足”。

这样一来的话，根据“知识点4——共线向量”中所讲的知识，可知与是共线。

所以①错误。

再来看②

题中说，根据“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，以下两个条件同时满足。

条件1——向量的大小和向量的大小相等。

条件2——向量的方向和向量的方向相同。

当然，向量和向量可以位于同一条直线上，也可以不位于同一条直线上，那我们就假设向量和向量位于同一条直线上吧。

既然向量和向量位于同一条直线上，那么这就说明A、B、C、D这4个点在同一条直线上。

既然A、B、C、D这4个点在同一条直线上，那么A、B、C、D 4点又怎么可能会是平行四边形的4个顶点呢。

所以②错误。

再来看③

我先针对“”说两件事。

第1件事：“”的意思是“平行四边形”。

第2件事：“”说明该平行四边形的四个顶点一定是“从A开始按顺时针方向依次是B、C、D”或者“从A开始按逆时针方向依次是B、C、D”，绝对不可能是其他情况。

比如以下几种图都是可以的。

比如以下几种图都是不行的。

好，现在针对“”的两件事已经说完了，我们正式来看③。

我们画图如下（当然，还有很多其他画法）。

根据初中所学过的知识，我们知道平行四边形的对边的长度是相等的，也就是说：

向量的大小和向量的大小相等。

根据初中所学过的知识，我们知道平行四边形的对边是平行的。

也就是说，直线AD和直线BC是平行的。

也就是说，向量和向量位于两条平行的直线上，由此立刻可知向量的方向和向量的方向相同或相反。然后，由图中可以具体的看出：

向量的方向和向量的方向相同（而不是相反）。

综合以上，由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知。

所以③正确。

再来看④

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，④的等价说法是“若向量与任一向量共线，则”。

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示2”可知④正确。

再来看⑤

由于题中说，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可得：

向量的大小和向量的大小相等。

向量的方向和向量的方向相同。

由于题中说，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可得：

向量的大小和向量的大小相等。

向量的方向和向量的方向相同。

好，我们继续来看。

由可得，向量的大小和向量的大小相等。

由可得，向量的方向和向量的方向相同。

所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可得。

所以⑤正确。

最后来看⑥

由“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，⑥的等价说法是“共线向量是所在直线互相平行的向量”，这显然是错误的，因为只要两个向量方向相同或相反，那它们就是共线向量，至于位置，完全可以在同一条直线上。

本题答案：③④⑤

例7：如图所示，四边形ABCD中，，N和M分别是边AD和边BC上的点，且。求证。

解：本题让求证的是，由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，我们只需证明以下两点。

需要证明的第1点：向量的大小和向量的大小相等。

需要证明的第2点：向量的方向和向量的方向相同。

下面开始证明。

由于题中说，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知以下两点。

第1点：向量的大小和向量的大小相等。

第2点：向量的方向和向量的方向相同。

通过第1点，我们可以知道：带箭头的线段的长度和带箭头的线段的长度相等（在知识点2中给大家讲过，带箭头的线段的长度就表示向量的大小），即AB=DC。

通过第2点，我们可以知道：带箭头的线段所在的直线和带箭头的线段所在的直线要么是重合的，要么是平行的。而从题中明显可以看出并不是重合的，也就是说，带箭头的线段所在的直线和带箭头的线段所在的直线是平行的，即AB∥DC。

好，刚才我们已经知道了，所以根据“平行四边形的判定方法”立刻可以判定出四边形ABCD是平行四边形。

温馨提示：关于“平行四边形的判定方法”大家一共就记两种方法就足够了。

第1种方法：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

第2种方法：有两组对边平行的四边形是平行四边形。

刚才用的就是第1种方法。

好，我们继续来做。

我们刚刚已经由题中所给的已知条件证明出了四边形ABCD是平行四边形。

现在我们用完全一样的方法，还可以通过题中所给的已知条件证明出四边形CNAM是平行四边形。

好，铺垫都做完了，接下来正式进入正题。

先来证明“需要证明的第1点”——向量的大小和向量的大小相等。

由于四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC。

由于四边形CNAM是平行四边形，所以NA=CM。

由于，并且从图中我们可以看出，所以DN=MB，即带箭头的线段的长度和带箭头的线段的长度相等，即向量的大小和向量的大小相等。

再来证明“需要证明的第2点”——向量的方向和向量的方向相同。

由于四边形ABCD是平行四边形，所以直线CB∥DA。

从图中可以明显的看出，向量位于直线DA上，向量位于直线CB上。

也就是说，向量和向量位于两条平行的直线上，所以向量的方向和向量的方向要么相同要么相反。

由图可知，向量的方向和向量的方向肯定是相同的（因为箭头都是朝右）。

综上所述

我们已经知道了，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知。

例8：给出下列四个命题。

①若，则。

②若，则。

③若，则。

④若，，则。

其中正确的命题有（　）。

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解：先来看①

一看到，立刻就知道①是错误的（因为是向量，而0是数，一个向量怎么可能和一个数相等呢）。

再来看②

指的仅仅是“向量的大小和向量的大小相等”。

根据“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，指的是“向量的大小和向量的大小相等”并且“向量的方向和向量的方向相同”，所以②错误。

再来看③

根据“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，③的等价说法是“若和是共线向量，则”。

我们来判断一下正误。

我们假设向量和向量都是非零向量，由于已知和是共线向量，所以向量和向量方向相同或相反。

大家看见了吧，只涉及“方向”，根本不涉及“大小”，所以③错误。

最后来看④

根据“知识点4——共线向量”中的“温馨提示3”可知，④的等价说法是“若和是共线向量，和是共线向量，则和是共线向量”。

接下来我们来判断一下正误。

我们假设是零向量。

根据“知识点4——共线向量”中的“温馨提示2”可知有“和是共线向量，和是共线向量”，但却未必有“和是共线向量”，所以④错误。

本题答案：A

例9：（高考真题）

给出下列命题。

①两个向量当且仅当它们起点相同并且终点相同时才相等。

②若将平面上所有单位向量的起点移动到同一个点，则其终点在同一个圆上。

③在菱形ABCD中，一定有。

④若，，则。

其中所有正确命题的序号为________。

解：先来看①

由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知，只要：

向量1的大小和向量2的大小相等。

向量1的方向和向量2的方向相同。

那么我们就称向量1和向量2相等。

大家看到了吧，与起点、终点相同不相同没有任何关系。

比如在下图中，向量和向量的起点、终点均不相同，但是这两个向量却相等。

所以①错误。

再来看②

由“知识点3——零向量和单位向量”可知，所有单位向量的大小都相等（都是1），所以②显然是正确的。

再来看③

我们先画出菱形ABCD的示意图，如下图所示。

③显然是正确的，原因如下。

我们知道，菱形一定是平行四边形（菱形的判定方法中说的非常清楚，邻边相等的平行四边形是菱形），所以本题中的菱形ABCD也是平行四边形ABCD。

我们继续来看。

在平行四边形ABCD中，显然“对边平行且相等”，所以有。

由于AB=DC（也就是带箭头的线段的长度等于带箭头的线段的长度），所以向量的大小和向量的大小相等。

由于AB∥DC，同时由于向量位于直线AB上并且向量位于直线DC上，所以向量的方向和向量的方向要么相同要么相反。由图可知，向量的方向和向量的方向显然是相同的（而不是相反的）。

现在我们已经知道了，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可知。

所以③正确。

最后来看④

情况1：如果这3个向量都不是零向量。

由于，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可以推出：

向量的大小和向量的大小相等。

向量的方向和向量的方向相同。

由于，所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可以推出：

向量的大小和向量的大小相等。

向量的方向和向量的方向相同。

综上所述，有：

向量的大小和向量的大小相等。

向量的方向和向量的方向相同。

所以由“知识点1——向量的定义”中的“温馨提示1”可以推出。

情况2：如果这3个向量中有零向量。

那么我们立刻就可以知道这3个向量全都是零向量，即，所以。

所以④正确。

本题应填：②③④